大学入試センター試験の問題などの解説

2009年センター(本試験)数学IA解説

2009年センター試験 数学IA(本試験)の解説  

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問題と解答は以下のサイトなどから入手してください。

第1問  

[1]A=6x^2 + (5y+2)x + (y+4)(y -5)=(3x+y+4)(2x-y-5) (たすきがけ利用)
x=-1のとき、A=6 -5y -2 +y^2 –y –20 =y^2 + 6y - 16
また、y=2/(3 –√7)=2(3 +√7)/ (3^2 –√7^2)=3 +√7 ⇒ (y-3)^2 =7 ⇔ y^2-6y=2なので、上の式に代入して、A=2-16 =-14

[2](1)p:a^2 –2a –8≧0 ⇔(a +2)(a -4)≧0 ⇔ a≦-2, 4≦a なので、pとqは同値であり、必要十分条件。

(2)
0:qかつ¬r :a≦-2
1:qまたは¬r :aはすべての実数
2:¬qかつ¬r:-2<a<4
3:¬qまたは¬r:a<5
なので、 p⊂(qまたは¬r), (qかつ¬r) ⊂p (本当は集合で書かなければならない。)

第2問  

y=2{x^2 –2(a+1)} + 10a+1=2{x-(a+1)}^2 –2(a+1)^2 + 10a+1=2{x-(a+1)}^2 –2a^2 +6a –1
よって、頂点G(a+1, –2a^2 +6a –1)
(1)頂点がx軸上にあるから、–2a^2 +6a –1=0 これを解いて、a=(3±√7)/2

(2)m=–2a^2 +6a –1になるのは、頂点が-1≦x≦3にあるとき、すなわち、-1≦a+1≦1 ⇔ -2≦a≦2
a<-2のとき、x=-1で最小値y=2+4(a+1)+10a+1=14a+7
2<aのx=3で最小値y=2×9-12(a+1)+10a+1=-2a+7

a<-2のとき、m=7/9とすると 14a+7=7/9 ⇔ a=-4/9で、a<-2を満たさない。
-2≦a≦2のとき、m=7/9とすると–2a^2 +6a –1=7/9 ⇔a=1/3、8/3で、-2≦a≦2を満たすのはa=1/3
2<aのとき、m=7/9とすると-2a+7=7/9 ⇔a=28/9で、2<aを満たす。

第3問  

余弦定理より cos∠CAB=(1^2 + 2^2 –√7^2)/2×1×2=-1/2 よって、∠CAB=120°
ADは∠CABの二等分線なので、BD:CD=AB:AC=1:2
よって、BD=√7×1/3=√7/3、CD=√7×2/3=2√7/3

∠DAB=∠DAC=60° 円周角の定理より∠DAC=∠DBE
円に内接する四角形の性質から∠BEC=180°-120°=60°

⊿BCEは正三角形なので、BE=BC=√7
⊿BCDについて、余弦定理よりDE^2=√7^2 + (√7/3)^2 -2√7√7/3cos60°=49/9
よってDE=7/3

正弦定理より 2R=(7/3)/ sin60°=14√3/9 よって、O’B=R=7√3/9
⊿O’BEは二等辺三角形なので、合同なふたつの直角三角形にわけることできる。
辺の長さは斜辺7√3/9、残りの辺√7/2、および、√(7√3/9^2-(√7/2)^2=√7/108=√21/18
tan∠EBO’=(√21/18)/ √7/2 =√3/9

第4問  

・1の目が出て終了するには、1回前に3になっている。
3になるのは(1,1,1), (1,2), (2,1) (3)の4通り。
・2の目が出て終了するには、1回前に2または3になっている。
2になるのは(1,1), (2)の2通り。3になる4通りと合わせて計6通り。
・3の目が出て終了するには、1回前に1または2または3になっている。
1になるのは(1)の1通り。2または3になる6通りと合わせて計7通り。
・4の目が出て終了するには、最初に4が出るか、1回前に1または2または3になっている。
最初に4になるのは(4)の1通り。1または2または3になる7通りと合わせて計8通り。

・1回で終了するのは、4,5,6のいずれかが出たときで、その確率は3/6=1/2
・2回で終了するのは、下の表(縦が1回め、横が2回めの目を表す)の○の場合で、その確率は15/36=5/12

123456
1
2
3
4
5
6

・4回で終了するのは(1,1,1,x)の場合(xは何でもよい)で、(1/6)^3=1/216

3回で終了する確率は1-(1/2 – 5/12 – 1/216) = 17/216
期待値は1×1/2+2×5/12+3×17/216+4×1/216) = 343216