大学入試センター試験の問題などの解説

2009年センター(本試験)数学IIB解説

2009年センター試験 数学IIB(本試験)の解説  

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第1問  

(1)
x≧2 ⇔ log(2)x≧log(2)2=1 ∴s≧1  同様にしてt≧1
s+t=log(2)x+log(2)y=log(2)xy
ここで、8≦xy≦16なので、log(2)8≦log(2)xy≦log(2)16 ⇔ 3≦log(2)xy≦4  ∴ 3≦s+t≦4

z=log(2)√x + log(2)y=(1/2)×log(2)x+log(2)y =(1/2)s + t

先に求めた範囲を用いて、横軸s、縦軸tとしてs,tの満たす領域を考える。
z=(1/2)s + t、すなわち t=-(1/2)s+z との共有点の存在範囲から、zが最大になるのは、s=1,t=3のときとわかる。このとき、z=(1/2) + 3=7/2

s=1のとき、log(2)x=1だからx=2。
t=3のとき、log(2)y=3だからy=2^3=8

(2)
5sinθ-3cos2θ=3 ⇔ 5sinθ-3{1-2(sinθ)^2}=3 ⇔6(sinθ)^2 + 5sinθ-6=0
⇔ (3sinθ-2) (2sinθ+3)=0 -1≦sinθ≦1よりsinθ=2/3
このとき、(cosθ)^2=1-(sinθ)^2=1-(2/3)^2=5/9 ∴cosθ=±√5/3

cosθ1=√5/3=0.74…
cos(π/4)= √2/2=071…
cos(π/5)= (1+√5)/4=0.80…
より、cos(π/4)<cosθ1<cos(π/5)なので、π/5<θ1<π/4

θ2=π-θ1なので、π-π/4<θ2<π-π/5 ⇔ 3π/4<θ2<4π/5
このとき、3θ1<3π/4<θ2、θ2<4π/5<4θ1 なので、θ2<nθ1となる最小のnは4

第2問  

APの中点が点Qなので、(u,v)=( (x+1)/2, (y-2)/2 )
これがC上の点なので、Cの式に代入し
(y-2)/2=2{(x+1)/2}^2 整理すると y=x^2 + 2x +3

y=2x^2とy=x^2 + 2x +3 からyを消去 2x^2=x^2 + 2x +3 ⇔ x^2- 2x-3=0
これを解いてx=-1,3
交点の座標は R(-1,2)、S(3,18)

y=x^2 + 2x +3を微分すると y'=2x+2
R、Sにおける接線の傾きはそれぞれ、2(-1)+2=0 , 2×3+2=8
よって、接線の方程式は y-2=0(x+1) ⇔y=2、および、y-18=8(x-3) ⇔ y=8x-6

P(a, a^2+2a+3)、H(a, 2a^2)だから、PH= a^2+2a+3-2a^2=-a^2+2a+3
⊿PHRの底辺PHとすると高さはa+1だから、
S(a)=(1/2)( -a^2+2a+3)(a+1)=(1/2)(-a^3 + a^2 +5a +3)
S'(a)= (1/2)(-3a^2 +2a+5)= (-1/2)(3a-5)(a+1)

a-15/33
S'(a)0+0-
S(a)

増減表より、a=5/3で最大値をとる。

直線HRの方程式はy-2={(2a^2-2)/(a+1)}(x+1)
a=5/3のとき この方程式に代入して整理すると y=(4/3)x+10/3
これとy=x^2 + 2x +3の交点のx座標は、
yを消去してx^2 + 2x +3=(4/3)x+10/3 これを解いてx=-1, 1/3

求める面積は∫[1/3→5/3]{ x^2 + 2x +3-(4/3)x+10/3}dx=160/81

第3問  

an=(1/3)^(n-1)
bn=a2n=(1/3)^(2n-1) =(1/3)×(1/3)^(2n-2)=(1/3)×(1/9)^(n-1) (初項1/3、公比1/9)
Tn=(1/3){1-(1/9)^n}/(1-1/9)=(3/8)(1-1/9^n)

b1×b2×…×bn-1×bn=(1/3)×{(1/3)(1/9)}×・・・×{(1/3)(1/9^(n-1))}×{(1/3)(1/9^n)}
=(1/3)^n ×(1/9)^{1+2+・・・+(n-1)}=(1/3) ^n ×(1/9)^{n(n-1)/2}=(1/3) ^n ×(1/3)^n(n-1)= (1/3) ^(n+ n^2-n)= (1/3) ^(n^2)

Cn=2n×bn
Cn+1=2(n+1) ×bn+1=2(n+1) ×(1/9)bn ⇔9Cn+1=2(n+1)bn
下の式から上の式を辺々引くと 9Cn+1 – Cn = 2bn

Σ(9Ck+1 – Ck)=(9C2 – C1)+ (9C3 – C2) +・・・+(9Cn – Cn-1)+ (9Cn+1 – Cn)
=(9C2 – C1)+ (9C3 – C2) +・・・+(9Cn – Cn-1)+ (9Cn+1 – Cn) + 9C1-9C1
=9ΣCk – ΣCk + 9Cn+1 – 9C1
=8Un + 9Cn+1 – 9C1

2Tn = 8Un + 9Cn+1 – 9C1 より
8Un=2Tn - 9Cn+1 + 9C1=2(3/8){1-(1/9^n)}- 9×2(n+1)(1/3)(1/9^n) + 9(2/3)
=3/4 + 18/3 –(1/9^n)[(3/4)+{(18/3)(n+1)}]=27/4 - (1/9^n){(24n+27)/4}
∴Un=27/32 - {(24n+27)/32}(1/9^n)

第4問  

(1)→BC=(-1, 2, 0)、→BA=(-1, 0, 1)よりBC・BA=1
cos∠ABC= BC・BA/(|BC||BA|)=1/√5×√2=1/√10
sin∠ABC=√{1-( cos∠ABC)^2}=3/√10
⊿ABC=(1/2)BC・BA・sin∠ABC=3/2

(2)→BB1=a(→v)
→OP= →OB+→BB1 + →B1P
B1P//B1A1=BAより →B1P=b(→u)とおけて、
→OP= →OB+a(→v) + b(→u)

QがAEを1-c:cに内分する点だとすると
→BQ=c(→u)+(1-c)(→v)
∴→OQ= →OB+c(→u)+(1-c)(→v)

OP=OQのとき、係数を比較して。b=c、a=1-c ∴b=c=-a+1
このとき、→BQ=(1-a)(→u)+a(→v)

⊿ADE∽⊿AD1E1であり、相似比が1:aであることから →D1E1=a(→DE)

四角形B1C1D1E1=⊿ABC-⊿A1B1C1=3/2-(3/2)a^2 = (3/2)(1-a^2)

(以下、うまいやりかたを思いつきませんでした。)
 |B1D1|^2 = |A1D1 – A1B1|^2=|A1D1|^2 –2A1D1・A1B1 +| A1B1|^2
ここで、→A1B1=→AB、→A1D1=a(→AC)、→AB=(1, 0, -1)、→AC=(0, 2, -1)を用いると
 |B1D1|^2 =|aAC|^2 –2aAC・AB +| AB|^2=5a^2 -2a +2
よって、|B1D1|=√(5a^2 -2a +2)